Intersection des médiatrices d'un triangle

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((\text{O}~ ; \text{I} ~, \text{J})\).
On considère les points \(\text{A}(-2~;4)\), \(\text{B}(-4~;0)\) et \(\text{C}(5~;3)\).

1. a. Soit \(\text{E}\) le milieu du segment \([\text{AB}]\). Calculer les coordonnées de \(\text{E}\).
    b. Calculer les longueurs \(\text{BE}, \text{EI}\) et \(\text{IB}\).
    c. Démontrer que \(\text{EIB}\) est un triangle rectangle en \(\text{E}\).
    d. Quelle est la médiatrice \(\mathcal{D}_1\) du segment \([\text{AB}]\) ?

2. Démontrer que le point \(\text{I}\) appartient à la droite \(\mathcal{D}_2\), médiatrice du segment \([\text{AC}]\).

3. Soit \(\text{M}(x~;y)\) un point appartenant à la droite \(\mathcal{D}_3\), médiatrice du segment \([\text{BC}]\).
    a. Démontrer que \(\text{BM}^2 =x^2+y^2+8x+16\) et que \(\text{CM}^2=x^2+y^2-10x-6y+34\).
    b. En déduire que \(\mathcal{D}_3\) est l'ensemble des points \(\text{M}(x~;y)\) tels que \(3x+y-3=0\).
    c. Démontrer que le point \(\text{I}\) appartient à l'ensemble \(\mathcal{D}_3\).

4. Que représente le point \(\text{I}\) pour le triangle \(\text{ABC}\) ?